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谁能成为中考数学的学霸?取决于你对二次函数的熟悉程度


我们把近几年全国各地的中考数学试题放在一起,进行一个纵向和横向的对比,你会发现基本上所有的中考数学试卷的最后一两题,往往都是与二次函数有关的综合题。

在初中数学内容当中,函数问题一直是它的核心内容,而跟二次函数有关的综合运用类题型更是中考数学命题的必考热点之一。

在中考数学中,与二次函数有关的题型覆盖面很广,如客观题(选择题和填空题)、解答题等;题型考查的对象有二次函数的知识概念、二次函数的图象与性质、二次函数的实际应用、二次函数相关的函数综合题、二次函数相关的函数几何综合问题等等。

同时,二次函数相关的综合问题还蕴含着丰富的数学思想方法,如函数与方程思想、分类讨论思想、动点思想、数形结合思想、存在性思想等,这些思想方法对考生的综合能力都提出了挑战。


考查二次函数的知识概念,典型例题分析1:

若函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为   .

解:∵函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,

当函数为二次函数时,b2﹣4ac=16﹣4(a﹣1)×2a=0,

解得:a1=﹣1,a2=2,

当函数为一次函数时,a﹣1=0,解得:a=1.

故答案为:﹣1或2或1.

考点分析:

直接利用抛物线与x轴相交,b2﹣4ac=0,进而解方程得出答案.

解题反思:

此题主要考查了抛物线与x轴的交点,正确得出关于a的方程是解题关键.

考查二次函数的知识概念,典型例题分析2:

已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=1/2x经过点(a,bc),给出下列结论:①bc>0;②b+c>0;③b,c是关于x的一元二次方程x2+(a﹣1)x+1/2a=0的两个实数根;④a﹣b﹣c≥3.其中正确结论是   (填写序号)



题干分析:

根据抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=1/2x经过点(a,bc),可以得到a>0,a、b、c的关系,然后对a、b、c进行讨论,从而可以判断①②③④是否正确,本题得以解决.

解题反思:

本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题.

考查二次函数的图象与性质,典型例题分析3:

已知A(1,0), B(0,-1),C(-1,2),D(2,-1),E(4,2)五个点,抛物线y=a (x-1)2+k(a>0),经过其中三个点.

(1)求证:C,E两点不可能同时在抛物线y=a (x-1)2+k(a>0)上;

(2)点A在抛物线y=a (x-1)2+k(a>0)上吗?为什么?

(3)求a和k的 值.




考点分析:

二次函数图象上点的坐标特征;计算题。

题干分析:

(1)由抛物线y=a(x﹣1)2+k可知,抛物线对称轴为x=1,而C(﹣1,2),E(4,2)两点纵坐标相等,应该关于直线x=1对称,但C(﹣1,2)与对称轴相距2,E(4,2)与对称轴相距3,故不可能;

(2)因为a>0,抛物线开口向上,C、E两点不能同时在抛物线上,排除A点在抛物线上;

(3)B、D两点关于对称轴x=1对称,一定在抛物线上,另外一点可能是C点或E点,分别将C、D或D、E两点坐标代入求a和k的值.

解题反思:

本题考查了二次函数图象上点的坐标特点.关键是明确图象上点的坐标必须满足函数解析式。

考查二次函数相关的应用题,典型例题分析4:

高铁的开通,能帮助当地发展经济,某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A、B两种材料共50箱.已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨;B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨;不计箱子之间的空隙,设A种材料进了x箱.

(1)求厂家共有多少种进货方案(不要求列举方案)?

(2)若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y(万元)与x(箱)的函数关系大致如下表,请先根据下表画出简图,猜想函数类型,求出函数解析式(求函数解析式不取近似值),确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润,并求出最大利润.



考点分析:

二次函数的应用;一元一次不等式组的应用;优选方案问题。

题干分析:

(1)设A种材料进了x箱,则B种材料进了50﹣x箱,此题中的等量关系有:①载重量为50箱;②容积为90立方米米,得到二元一次方程组;

(2)根据所给数据判断该函数为二次函数,再将三点坐标代入其中即可求得二次函数的解析式,从而求得最大利润.

解题反思:

本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,找到所求的量的等量关系.本题利用了总利润=A单位利润×A件数+B单位利润×B件数,甲原料=A产品单位甲用量×A件数件数+B产品单位甲用量×B件数,关键是正确理解题意,然后根据二次函数的性质解决问题.

考查二次函数相关的函数与几何综合问题,典型例题分析5:

如图,抛物线y=x2/2+x﹣3/2与x轴相交于A、B两点,顶点为P.

(1)求点A、B的坐标;

(2)在抛物线是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积,若存在,求出符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,直接写出所有符合条件的点F的坐标.



考点分析:

二次函数综合题;综合题。

题干分析:

(1)令y=0,则x2/2+x﹣3/2=0,解方程即可得到点A、B的坐标;

(2)先利用对称性得到顶点P的坐标,然后根据△ABP的面积等于△ABE的面积得到点E坐标为(a,2),在把E(a,2)代入抛物线的解析式得到关于a的方程,解方程即可确定E点坐标;

(3)分类讨论:分别以AB、PA、PB为平行四边形的对角线,根据平行四边的性质易确定点F的坐标.

解题反思:

本题考查了解二次函数的综合题的方法:先通过二次函数的解析式确定各特殊点的坐标,得到有关线段的长,然后利用几何性质(如三角形面积公式,平行四边形的性质)去确定其他点的坐标.

考查二次函数相关的动点综合问题,典型例题分析6:

如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD= 90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(-1,0),B( -1,2),D( 3,0),连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON,若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N.

(1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线上是否存在点P.使得PA=PC.若存在,求出点P的坐标;若不存在.请说明理由.

(3)设抛物线与x轴的另—个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有最大?并求出最大值.




考点分析:

抛物线、存在、动态、压轴、压轴题、综合题

题干分析:

(1)由题意可知点M的坐标为(0,2),根据平移可知线段DM是向左平移3个单位得到线段NO的,由此可知N(-3,2),把D、M、N三点的坐标代入y=ax2+bx+c即可得到抛物线的解析式.

(2)由题意可知点P应该是线段AC的垂直平分线与抛物线的交点,为此需要确定AC的垂直平分线所在的直线的函数解析式,然后通过解方程组确定交点坐标,若能求得,则说明存在,否则说明不存在.

(3)由题意可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称,所以QE=QD,所以|QE-QC|=|QD-QC|,延长DC交抛物线的对称轴相交,当点Q在交点上时,QD-QC=CD,此时|QE-QC|的值最大,恰好为线段CD的长.

解题反思:

(1)待定系数法是确定函数解析式的常用方法,运用时要确定好图象上关键点的坐标,本题中点N的坐标可以根据平面直角坐标系中点的坐标的平移规律来得到.

(2)求函数的交点坐标,通常是通过解由两个函数的解析式联立所得的方程组来求解.

本题综合性强,解答时需具备较强的数学基本功,若知识掌握欠缺,则不容易得分。

二次函数一直是中考的热点问题,很多压轴题都是以二次函数为背景,突出了利用函数思想进行科学探究的“过程”考查,变化形成的综合问题。此类题型,技巧性和综合性较强,涉及的知识面广,有较强的区分度,解答此类题目对学生综合分析问题和解决问题的能力要求比较高。

作者:吴国平